\(a,AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=9\left(cm\right)\)

\(b,\)Áp dụng HTL:

\(AH\cdot BC=AC\cdot AB\\ \Rightarrow AH=\dfrac{12\cdot9}{15}=7,2\left(cm\right)\)

Vì AD là p/g nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow BD=\dfrac{3}{4}DC\)

Mà \(BD+DC=BC=15\Rightarrow\dfrac{5}{4}DC=15\Rightarrow DC=12\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(HC=\dfrac{AC^2}{BC}=9,6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HD=CD-HC=2,4\left(cm\right)\)

Áp dụng pytago: \(AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\dfrac{12\sqrt{10}}{5}\left(cm\right)\)

Bài 2: 

b: \(AH\cdot\left(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\right)\)

\(=AH\cdot\left(\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}\right)\)

\(=AH\cdot\dfrac{BC}{AH}=BC\)

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=81\)

hay AB=9cm

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

hay \(\widehat{B}=53^0\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot21\cdot28=294\left(cm^2\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)

mà \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\)

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

b: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=21^2+28^2=1225\)

=>\(BC=\sqrt{1225}=35\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{15}=\dfrac{DC}{20}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

 mà DB+DC=BC=35cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{35}{7}=5\)

=>\(DB=5\cdot3=15\left(cm\right);DC=4\cdot5=20\left(cm\right)\)

a)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

           \(\widehat{B}:chung\)

      \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)           \(\left(ĐPCM\right)\)

b)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC. Ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow15^2+20^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC=25\)

Ta có: \(\text{ΔABC ∼ ΔHBA }\)   (cm câu a)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{20}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{BH}{15}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=12\\BH=9\end{matrix}\right.\)

⇒ \(CH=BC-BH=25-9=16\)

hình vẽ

câu a)

Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của (BAC)

Suy ra:  (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 21 (cm); AC = 28 (cm)

Nên \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{21}{28}=\dfrac{3}{4}\)

Suy ra:

Suy ra: 

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

b: BC=căn 12^2+16^2=20cm

AH=12*16/20=9,6cm